Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的三個頂點、、．以為頂點的拋物線過點．動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段向點運動，運動時間為秒．過點作軸交拋物線于點，交于點．

直接寫出點的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

當(dāng)為何值時，的面積最大？最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點A得到坐標(biāo)；由頂點A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點式方程為y=a（x-1）2+4，然后將點C的坐標(biāo)代入，即可求得系數(shù)a的值（利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）；
（2）利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=-2x+6；由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點P的坐標(biāo)（1，4-t），據(jù)此可以求得點E的縱坐標(biāo)，將其代入直線AC方程可以求得點E或點G的橫坐標(biāo)；然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得GE=4-、點A到GE的距離為，C到GE的距離為2-；最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=-（t-2）2+1，由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時，S△ACG的最大值為1．

，

由題意知，可設(shè)拋物線解析式為

∵拋物線過點，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為，即；

∵，，

∴可求直線的解析式為．

∵點．

∴將代入中，解得點的縱坐標(biāo)為，

∴把，代入拋物線的解析式中，可求點的縱坐標(biāo)為，

∴，

又點到的距離為，到的距離為，

即

．

當(dāng)時，的最大值為．