Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）在直線BC下方的拋物線上是否在存在一點M，使△MBC的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=1上一動點，求使△PCB是直角三角形的點P的坐標(biāo)．（不寫過程，直接寫出點的坐標(biāo)）

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）把A與B兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式得到兩個方程，由對稱軸公式列出方程，聯(lián)立求出a，b，c的值，即可確定出解析式；
（2）存在，由B與C坐標(biāo)確定出直線BC斜率，當(dāng)M為與BC平行且與拋物線的唯一一個交點時，△MBC的面積最大，求出此時M坐標(biāo)即可；
（3）分三種情況考慮：∠PBC為直角；∠BCP為直角；∠BPC為直角，分別求出P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由題意得：

a-b+c=0 c=-3 - b 2a =1

，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
則拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）存在，當(dāng)M為與BC平行且與拋物線的唯一一個交點時，△MBC的面積最大，
對于拋物線解析式y(tǒng)=x²-2x-3，
令y=0，得到x²-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x=3或x=-1，
即B（3，0），
∵C（0，-3），
∴直線BC斜率為

-3-0

0-3

=1，
設(shè)與直線BC平行的直線解析式為y=x+b，
與拋物線解析式聯(lián)立得：

y=x+b y=x2-2x-3

，
消去y得：x²-2x-3=x+b，即x²-3x-3-b=0，
當(dāng)△=0，即9+4（3+b）=0時，拋物線與直線有唯一交點，
解得：b=-

21

4

，即直線為y=x-

21

4

，
方程為x²-3x-3+

21

4

=0，即4x²-12x+9=0，
解得：x=

3

2

，
把x=

3

2

代入得：y=-

15

4

，
則滿足題意M坐標(biāo)為（

3

2

，-

15

4

）；
（3）分三種情況考慮：
當(dāng)∠PBC為直角時，由直線BC解析式為y=x-3，
過B與直線BC垂直的直線方程為y=-x+3，
把x=1代入得：y=-1+3=2，此時P坐標(biāo)為（1，2）；
當(dāng)∠BCP為直角，過C與直線BC垂直的直線方程為y=-x-3，
把x=1代入得：y=-1-3=-4，此時P坐標(biāo)為（1，-4）；
當(dāng)∠BPC為直角時，設(shè)P（1，p），
此時直線PB斜率為

p-0

1-3

=-

p

2

；直線PC斜率為

p+3

1-0

=p+3，
∵PB⊥PC，∴-

p

2

（p+3）=-1，
解得：p=

-3± 17

2

，此時P坐標(biāo)為（1，

-3+ 17

2

）或（1，

-3- 17

2

）．

點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，兩直線平行時斜率滿足的關(guān)系，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．