Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，sin∠ACB=

3

5

，E為BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上，記作B′．
（1）求BE的長(zhǎng)；
（2）連接DB'，求cot∠B′DC的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，通過(guò)解直角三角形，可求得BC、AC的長(zhǎng)；根據(jù)折疊的性質(zhì)知BE=B′E，AB=AB′=3；可用BE分別表示出B′E和EC，即可在Rt△B′EC中，根據(jù)勾股定理求得BE的長(zhǎng)；
（2）過(guò)B′作B′F⊥CD于F，易證得△CFB′∽△CDA，即可由相似三角形所得比例線段求出B′F和CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得DF的長(zhǎng)，在Rt△B′DF中，已知了B′F和DF的長(zhǎng)，即可求得cot∠BDC的值．

解答：解：（1）矩形ABCD中，∠B=90°，
∴AC=

AB

sin∠ACB

=5，∴BC=

AC2-AB2

=4；（2分）
由翻折得B'E=BE，∠EB'C=90°；
在Rt△EB'C中，sin∠ECB′=

EB′

EC

；
設(shè)BE=x，則EC=4-x，∴

x

4-x

=

3

5

，（1分）
解得x=

3

2

∴BE的長(zhǎng)為

3

2

；（2分）

（2）過(guò)點(diǎn)B'作B'F⊥CD，垂足為F；（1分）
∵矩形ABCD中，∠D=90°，
∴∠B'FC=∠D=90°，∴B'F∥AD；（1分）
∴

CB′

AC

=

CF

CD

=

B′F

AD

，∴CF=

6

5

，B′F=

8

5

；（2分）
在Rt△B'FD中，cot∠B′DC=

DF

B′F

=

CD-CF

B′F

=

9

8

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、勾股定理的應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)的定義等重要知識(shí)，難度適中．