Question

10．如圖，D為∠BAC的平分線上一點，BD=CD，過點D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交AB的延長線于F，下列結(jié)論：
①△CDE≌△BDF   
②AB+AC=2AF   
③∠BAC+∠BDC=180°
④∠DAC=∠BCD；
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①由角平分線上的點到角兩邊的距離相等，得出DF=DE，由HL證得Rt△CDE≌Rt△BDF；
②由HL證得Rt△ADE≌Rt△ADF得出AF=AE，由Rt△CDE≌Rt△BDF得出BF=CE，即可得出結(jié)果；
③由DE⊥AC，DF⊥AB，得出∠BAC+∠FDE=180°，由Rt△CDE≌Rt△BDF，得出∠FDB=∠EDC，∠FDE=∠BDC，即可得出結(jié)果；
④由∠BAC+∠BDC=180°，得出A、B、D、C四點共圓，得出∠BAD=∠BCD，即可得出結(jié)果．

解答 解：①∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），
∴①正確；
②在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AF=AE，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴BF=CE，
∴AB+AC=AB+AE+CE=AB+BF+AE=AF+AE=2AF，
∴②正確；
③∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BAC+∠FDE=180°，
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠FDB=∠EDC，
∴∠FDE=∠BDC，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴③正確；
④∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴A、B、D、C四點共圓，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AD為∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠BCD，
∴④正確；
綜上所述：①②③④正確，
故選A．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、四點共圓、同弧所對的圓周角相等等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和四點共圓是解決問題的關(guān)鍵．