Question

1．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），直線y=-3x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，且兩直線交于點(diǎn)C（2，m）．
（1）求m的值及一次函數(shù)的解析式；
（2）求△ACD的面積；
（3）在線段AD上是否存在一點(diǎn)P，使線段OP將△AOD的面積分為1：2兩部分，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先把點(diǎn)C（2，m）代入y=-3x+3得求得m=-3，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）先確定直線y=-3x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用S_△ACD=S_△ABD+S_△ABC進(jìn)行計(jì)算；
（3）當(dāng)AP：PD=1：2時(shí)，過(guò)P作PE⊥x軸于E，當(dāng)AP：PD=2：1時(shí)，過(guò)P′作P′E′⊥x軸于E′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）把C（2，m）代入y=-3x+3得m=-3×2+3=-3；
把A（4，0），C（2，-3）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
所以一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-6；

（2）對(duì)于y=-3x+3，令y=0，則x=1，則B（1，0）；令x=0，則y=3，則D（0，3）．
則AB=4-1=3，
則S_△ACD=S_△ABD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×3×3=9；

（3）存在，
當(dāng)AP：PD=1：2時(shí)，過(guò)P作PE⊥x軸于E，
∴△APE∽△ADO，
∴PE：OD=AE：OA=$\frac{1}{3}$，
∴PE=1，AE=$\frac{4}{3}$，
∴OE=$\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{8}{3}$，1）；
當(dāng)AP：PD=2：1時(shí)，過(guò)P′作P′E′⊥x軸于E′，
∴△AP′E′∽△ADO，
∴P′E′=2，AE′=$\frac{8}{3}$，
∴OE′=$\frac{4}{3}$，
∴P（$\frac{4}{3}$，2），
綜上所述：P（$\frac{8}{3}$，1）或（$\frac{4}{3}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩直線平行或相交的問(wèn)題：直線y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直線y=k₂x+b₂（k₂≠0）平行，則k₁=k₂；若直線y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直線y=k₂x+b₂（k₂≠0）相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．