Question

如圖N2­12，在平面直角坐標系中，直線y＝－3x－3與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸交于另一點B(點B在點A右側(cè))．

(1)求拋物線的解析式及點B坐標；

(2)若點M是線段BC上的一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E.求ME長的最大值；

(3)試探究當ME取最大值時，在拋物線上、x軸下方是否存在點P，使以M，F，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：(1)當y＝0時，－3x－3＝0，x＝－1，∴A(－1, 0)．

當x＝0時，y＝－3，∴C(0，－3)．

∵拋物線過A，C兩點，

拋物線的解析式是y＝x²－2x－3.

當y＝0時， x²－2x－3＝0，解得 x₁＝－1，x₂＝3.

∴ B(3, 0)．

(2)由(1)知 B(3, 0) , C(0，－3)，

直線BC的解析式是y＝x－3.

設(shè)M(x，x－3)(0≤x≤3)，則E(x，x²－2x－3)

∴ME＝(x－3)－( x²－2x－3)＝－x²＋3x＝－²＋.

∴當x＝時，ME的最大值為.

(3)不存在．由(2)知 ME 取最大值時，

ME＝，

∴MF＝，BF＝OB－OF＝.

設(shè)在拋物線x軸下方存在點P，使以P，M，F，B為頂點的四邊形是平行四邊形，

則BP∥MF，BF∥PM.

∴P₁或 P₂.

當P₁時，由(1)知y＝x²－2x－3＝－3≠－，∴P₁不在拋物線上．

當P₂時，由(1)知y＝x²－2x－3＝0≠－，

∴P₂不在拋物線上．

綜上所述：在拋物線上x軸下方不存在點P，使以P，M，F，B為頂點的四邊形是平行四邊形