Question

【題目】如圖，已知二次函數 的圖象M經過(，0)，(2，)兩點且與軸的另一個交點為．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）點是線段上的動點（點G與線段的端點不重合），若△AGB∽△ABC，求點G的坐標；

（3）設拋物線的對稱軸為，點是拋物線上一動點，當△ACD的面積為時，點D關于的對稱點為E，能否在拋物線和上分別找到點P、Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形. 若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點G的坐標為；（3）能. 點P的坐標為或．

【解析】

（1）把點A、C坐標代入二次函數的表達式，即可求解；

（2）先求出直線AC的解析式，設點G的坐標為，根據勾股定理求出AC、AG，再由三角形相似對應邊成比例求出k的值，進而得到答案；

（3）過D點作的垂線交于點H，根據=，列方程求出m的值，進而求出點D的坐標，再根據以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則∥且，求得點 Q的坐標，進而求得點P的縱坐標．

（1）∵二次函數的圖象經過A(，0)，C(2，)兩點，

∴解得 .

∴二次函數的解析式為

（2）∵A(，0)，C(2，)∴線段AC的解析式：.

設點G的坐標為.

由可知：B(4,0)

∴AB=5，

AG=

∵△AGB∽△ABC，

∴

∴

∴

∴或（舍去）

∴點G的坐標為

（3）能. 理由如下：如答圖，過D點作的垂線交于點H，

∵， ∴.

∵點是拋物線上一動點，上，

∴.

∵△ACD的面積為，

∴，

整理得，解得.

∴.

∵，∴圖象的對稱軸為.

∵點D關于的對稱點為E，∴

∴.

若以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，則∥且.

∵Q在對稱軸x=上，

∴Q的橫坐標為，

∴點P的橫坐標為或.

∴當x=或時，點P的縱坐標為.

∴點P的坐標為或.