Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為BC邊上的高．
（1）試寫出AB，AC，AD與半徑r之間的關(guān)系并證明；
（2）如果作∠BAC的角平分線交⊙O于M，那么AM是否是∠OAD的角平分線？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖，延長AO，交⊙O于點(diǎn)E，連接EC；證明△ABD∽△AEC，得到AB•AC=2r•AD．
（2）證明∠BAD=∠EAC，進(jìn)而得到∠BAE=∠CAD，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，延長AO，交⊙O于點(diǎn)E，連接CE；
∵AD⊥BC，AE為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACE，而∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴AB：AE=AD：AC；設(shè)⊙O的半徑為r，
∴AB•AC=2r•AD．
（2）∵△ABD∽△AEC，
∴∠BAD=∠EAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∴若AM平分∠BAC，則AM一定平分∠OAD．

點(diǎn)評：該題以圓為載體，以圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)的考查為核心構(gòu)造而成的一道綜合性幾何題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．