Question

1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC于D交⊙O于E
（1）若∠ACB=120°，求證：CE=⊙O的半徑．
（2）連OC，OP⊥OC交CB的延長線于P，若⊙O的半徑為5cm，弦BC=6cm，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB+∠BEA=180°，∠ACB=120°，得∠BAE=60°，∠EBD=30°，根據(jù)∠EOC=2∠EBC即可解決問題．
（2）作OM⊥BC于M，利用△COM∽△CPO，得$\frac{CO}{CP}=\frac{CM}{CO}$，求出PC即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖連接OE、BE、EC，
∵∠ACB+∠BEA=180°，∠ACB=120°，
∴∠BAE=60°，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB=90°，∠EBD=90°-∠BAE=30°，
∴∠EOC=2∠EBC=60°，
∵OE=OC，
∴△OEC是等邊三角形，
∴EC=OC=⊙O的半徑．
（2）解：作OM⊥BC于M，
∵BC=6，OC=5，
∴MB=MC=3，OM=4，
∵∠OMC=∠COP=90°，∠MCO=∠PCO，
∴△COM∽△CPO，
∴$\frac{CO}{CP}=\frac{CM}{CO}$，
∴$\frac{5}{CP}=\frac{3}{5}$，
∴CP=$\frac{25}{3}$，
∴PB=CP-BC=$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查三角形的外接圓的有關(guān)知識、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用圓心角等于同弧所對的圓周角的2倍得到∠EOC=2∠EBC=60°，屬于中考�？碱}型．