Question

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F．求證：四邊形DECF為菱形．

 

Answer 1

證法一：連結(jié)CD

∵ DE∥AC，DF∥BC，

∴ 四邊形DECF為平行四邊形，

∵∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D

∴點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，

∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，

∵DF∥BC

∴∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC

∴ FC＝FD，

∴ 平行四邊形DECF為菱形．······································································· 5分

證法二：過(guò)D分別作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．

∵AD、BD分別平分∠CAB、∠ABC，

∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．

∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四邊形DECF為平行四邊形，

∴S_□DECF=CE·DH =CF·DI，

∴CE=CF．

∴平行四邊形DECF為菱形．…………………5分