Question

15．已知圓錐底面半徑為1，母線長為4，地面圓周上有一點(diǎn)A，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運(yùn)動(dòng)一周后到達(dá)母線PA中點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短路程為2$\sqrt{5}$（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果

解答 解：根據(jù)題意，將該圓錐展開如下圖所示的扇形，
         則，線段AB就是螞蟻爬行的最短距離．
         因?yàn)�，圓錐的底面緣的周長=扇形的弧長，
         所以，扇形的弧長l=2πr=2π，
         扇形的半徑=母線長，
         由公式：l=$\frac{nπr}{180}$  得，
         圓心角     n=$\frac{180×2π}{4π}$=90°，
             在RT△APM中，
                        AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
               所以 螞蟻爬行的最短路程為2$\sqrt{5}$，
          故答案為：2$\sqrt{5}$，

點(diǎn)評 此題是平面展開圖--最短路程問題，考查了圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．