Question

已知sinA，sinB是方程4x²-2mx+m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且∠A，∠B是直角三角形的兩個(gè)銳角，
（1）求m的值；
（2）求∠A和∠B的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,同角三角函數(shù)的關(guān)系,特殊角的三角函數(shù)值

專題：

分析：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得sinA+sinB=

m

2

，sinA•sinB=

m-1

4

，利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系得到sin²A+sin²B=1，變形得到（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，所以（

m

2

）²-2×

m-1

4

=1，解得m₁=1+

3

，m₂=1-

3

，然后根據(jù)sinA與sinB都是正數(shù)確定m的取值；
（2）利用因式分解法求出已知方程的解得到x的值確定出sinA或sinB的值，即可求出∠A和∠B的度數(shù)．

解答：解：（1）根據(jù)題意得sinA+sinB=

m

2

，sinA•sinB=

m-1

4

，
∵sin²A+sin²B=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
∴（

m

2

）²-2×

m-1

4

=1，
解得m₁=1+

3

，m₂=1-

3

，
∵sinA+sinB=

m

2

＞0，sinA•sinB=

m-1

4

＞0，
∴m=1+

3

；

（2）當(dāng)m=1+

3

時(shí)，方程即為4x²-2（1+

3

）x+

3

=0，
∴（2x-1）（2x-

3

）=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
當(dāng)sinA=

1

2

時(shí)，∠A=30°，則∠B=60°；
當(dāng)sinB=

1

2

時(shí)，∠B=30°，則∠A=60°．
故∠A=30°或60°，∠B=60°或30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程-因式分解法．