Question

【題目】已知一個三角形紙片的兩邊長是5和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+5=0的一個根，若用此三角形紙片剪出一個圓，則剪出的圓的半徑最大是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】先解方程得到x1=1，x2=5，再根據三角形三邊的關系得到三角形第三邊為5，如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O為△ABC的內切圓，設⊙O的半徑為r，作AD⊥BC于D，根據等腰三角形的性質得到BD=CD=3，AD平分∠BAD，根據內心的定義得到點O在AD上，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則OD=OE=OF=r，在Rt△ABD中，根據勾股定理得AD=4，然后利用面積法得到×4×6=×5r+×6r+×5r，解得r=，由于三角形的內切圓為三角形內最大的圓，所以此三角形紙片剪出的圓的半徑最大值為．

x2﹣6x+5=0，

（x﹣1）（x﹣5）=0，

解得x1=1，x2=5，

∵三角形紙片的兩邊長是5和6，

∴三角形第三邊為5，

如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O為△ABC的內切圓，設⊙O的半徑為r，

作AD⊥BC于D，

則BD=CD=3，AD平分∠BAD，

∴點O在AD上，

作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則OD=OE=OF=r，

在Rt△ABD中，AD==4，

∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，

∴×4×6=×5r+×6r+×5r，解得r=，

∴此三角形紙片剪出的圓的半徑最大值為，

故答案為：．