Question

如圖，AB是⊙O的直徑，，M是弧AB的中點，OC⊥OD，△COD繞點O旋轉(zhuǎn)與△AMB的兩邊分別交于E、F（點E、F與點A、B、M均不重合），與⊙O分別交于P、Q兩點．

（1）求證：；

（2）連接PM、QM，試探究：在△COD繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，∠PMQ是否為定值？若是，求出∠PMQ的大�。蝗舨皇�，請說明理由；

（3）連接EF，試探究：在△COD繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，△EFM的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）是，135°；（3）存在，9.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠AMB=90°，由M是弧AB的中點得弧MB=弧MA，于是可判斷△AMB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，則可根據(jù)“SAS”判斷△OBE≌△OMF，所以O(shè)E=OF；

（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，則∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP）=45°，所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°；

（3）易得△OEF為等腰直角三角形，則EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周長=EF+MF+ME=EF+MB=OE+6，根據(jù)垂線段最短得當(dāng)OE⊥BM時，OE最小，此時OE=BM=3，所以△EFM的周長的最小值為9．

試題解析：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AMB=90°，

∵M(jìn)是弧AB的中點，

∴，

∴MA=MB，

∴△AMB為等腰直角三角形，

∴∠ABM=∠BAM=45°，∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=×6=6，

∴∠MOE+∠BOE=90°，

∵∠COD=90°，

∴∠MOE+∠MOF=90°，

∴∠BOE=∠MOF，

在△OBE和△OMF中，

，

∴△OBE≌△OMF（SAS），

∴OE=OF；

（2）解：∠PMQ為定值．

∵∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，

∴∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP），

∵∠COD=90°，

∴∠BOQ+∠AOP=90°，

∴∠BMQ+∠AMP=×90°=45°，

∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°；

（3）解：△EFM的周長有最小值．

∵OE=OF，

∴△OEF為等腰直角三角形，

∴EF=OE，

∵△OBE≌△OMF，

∴BE=MF，

∴△EFM的周長=EF+MF+ME=EF+BE+ME=EF+MB=OE+6，

當(dāng)OE⊥BM時，OE最小，此時OE=BM=×6=3，

∴△EFM的周長的最小值為3+6=9．

考點: 圓的綜合題.