Question

8．已知拋物線y=x²-2x-3，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，EF∥AC交y軸于M，AN∥y軸交EF于N點(diǎn)，求$\frac{EM}{FN}$的值．

Answer 1

分析 根據(jù)解析式求得點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，從而得出直線AC解析式，設(shè)M（0，m）由EF∥AC交y軸于M知直線EF的解析式為y=x+m，繼而由AN∥y軸得點(diǎn)N（3，3+m），設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂、y₂），聯(lián)立拋物線和直線EF解析式可得x₁+x₂=3即-x₁=x₂-3，作EG⊥y軸、FH⊥AN知△EGM∽△FHN，得$\frac{EM}{FN}$=$\frac{EG}{FH}$=$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}-3}$=1．

解答 解：如圖，

令y=0，則x²-2x-3=0，
解得：x=-1或x=3，
即點(diǎn)B（-1，0）、點(diǎn)A（3，0），
令x=0得y=-3，即點(diǎn)C（0，-3），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，
將A（3，0）、C（0，-3）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=x-3，
設(shè)M（0，m），
∵EF∥AC交y軸于M，
∴直線EF的解析式為y=x+m，
∵AN∥y軸交EF于N點(diǎn)，
∴點(diǎn)N（3，3+m），
設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂、y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x+m}\end{array}\right.$得：x²-2x-3=x+m，即x²-3x-3-m=0，
則x₁+x₂=3，即-x₁=x₂-3，
過點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，作FH⊥AN交AN延長線于點(diǎn)H，
則△EGM∽△FHN，
∴$\frac{EM}{FN}$=$\frac{EG}{FH}$=$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{2}-3}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和拋物線相交的問題及相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)建相似三角形將兩條線段的長度之比轉(zhuǎn)化為直線和拋物線相交的問題是解題的關(guān)鍵．