Question

關(guān)于x的一元二次方程x²+（m+2）x+

m-9

2

=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若拋物線y=x²+（m+2）x+

m-9

2

與x軸交于A（-1-n，0），B（-2+n，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，求這個(gè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作直角三角形ACD，斜邊CD與拋物線交于點(diǎn)P，且CP=DP，求直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）得到其根的判別式大于0即可得到方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)拋物線與x軸交于A（-1-n，0），B（-2+n，0）兩點(diǎn)，得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

3

2

，然后利用-

m+2

2

=-

3

2

，即可求得m=1，從而確定拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x²+3x-4，然后確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（3）首先根據(jù)A（-4，0），C（0，-4）求得E（0，4），然后利用待定系數(shù)法確定直線AD的解析式，然后根據(jù)Rt△CAD中，PD=PC得到AP=

1

2

CD=CP．設(shè)P（x，x²+3x-4），從而得到（x+4）²+3（x²+3x-4）²=x²+（x²+3x-4+4）²，求得x的值即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x²+（m+2）x+

m-9

2

=0，
∴△=（m+2）2-4×

(m-9)

2

=m²+2m+22=（m+1）²+21，
∵（m+1）²≥0，
∴△=（m+1）²+21，
∴無(wú)論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）解：∵拋物線與x軸交于A（-1-n，0），B（-2+n，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

3

2

．
∴-

m+2

2

=-

3

2

．
∴m=1．
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x²+3x-4．
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-4，0），（1，0）；

（3）解：∵A（-4，0），C（0，-4），
∴AO=CO，
∴∠CAB=45°．
∵∠CAD=90°，
∴∠EAO=45°．
∴AO=OE，
∴E（0，4）；

設(shè)直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
將A（-4，0），E（0，4）代入，得

-4k+b=0 b=4

，
解得

k=1 b=4

．
∴直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x+4．
在Rt△CAD中，PD=PC，
∴AP=

1

2

CD=CP．
設(shè)P（x，x²+3x-4），
∴（x+4）²+3（x²+3x-4）²=x²+（x²+3x-4+4）²，
整理，得x²+2x-4=0，
解得x=-1±

5

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1+

5

，-1-

5

）或P（-1-

5

，-1-

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，涉及到了一元二次方程的根的判別式、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．