Question

如圖，把一張矩形的紙ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點E處，BE與AD交于點F．
①求證：△ABF≌△EDF；
②若將折疊的圖形恢復(fù)原狀，點F與BC邊上的點M正好重合，連接DM，試判斷四邊形BMDF的形狀，并說明理由．
③若AD=9cm，AB=3cm，求四邊形BMDF的面積．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）因為△BCD關(guān)于BD折疊得到△BED，顯然△BCD≌△BED，得出CD=DE=AB，∠E=∠C=∠A=90°．再加上一對對頂角相等，可證出△ABF≌△EDF；
（2）利用折疊知識及菱形的判定可得出四邊形BMDF是菱形；
（3）根據(jù)勾股定理可得AF的長，進一步得到FD的長，再根據(jù)平行四邊形的面積公式計算即可求解．

解答：（1）證明：由折疊可知，CD=ED，∠E=∠C． 
在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∴AB=ED，∠A=∠E．
在△AFB與△EFD中，

∠AFB=∠EFD ∠A=∠E AB=ED

，
∴△AFB≌△EFD（AAS）．

（2）解：四邊形BMDF是菱形．
理由：由折疊可知：BF=BM，DF=DM．
由（1）知△AFB≌△EFD，
∴BF=DF．
∴BM=BF=DF=DM．
∴四邊形BMDF是菱形．

（3）解：設(shè)AF=xcm，則BF=（9-x）cm，則
3²+x²=（9-x）²，
解得x=4，
DF=9-4=5cm，
故四邊形BMDF的面積為5×3=15cm²．

點評：本題利用了折疊的知識（折疊后的兩個圖形全等）以及矩形的性質(zhì)（矩形的對邊相等，對角相等），以及菱形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)的有關(guān)知識．