Question

如圖，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，點(diǎn)C在OA上，AC=1，⊙P的圓心P在線段BC上，且⊙P與邊AB，AO都相切．若反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)圓心P，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：設(shè)⊙P與邊AB，AO分別相切于點(diǎn)E、D，連接PE、PD、PA，用面積法可求出⊙P的半徑，然后通過(guò)三角形相似可求出CD，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，就可求出k的值．

解答：解：設(shè)⊙P與邊AB，AO分別相切于點(diǎn)E、D，連接PE、PD、PA，如圖所示．
則有PD⊥OA，PE⊥AB．
設(shè)⊙P的半徑為r，
∵AB=5，AC=1，
∴S_△APB=

1

2

AB•PE=

5

2

r，S_△APC=

1

2

AC•PD=

1

2

r．
∵∠AOB=90°，OA=4，AB=5，
∴OB=3．
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

×1×3=

3

2

．
∵S_△ABC=S_△APB+S_△APC，
∴

3

2

=

5

2

r+

1

2

r．
∴r=

1

2

．
∴PD=

1

2

．
∵PD⊥OA，∠AOB=90°，
∴∠PDC=∠BOC=90°．
∴PD∥BO．
∴△PDC∽△BOC．
∴

PD

BO

=

CD

OC

．
∴PD•OC=CD•BO．
∴

1

2

×（4-1）=3CD．
∴CD=

1

2

．
∴OD=OC-CD=3-

1

2

=

5

2

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，

1

2

）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)圓心P，
∴k=

5

2

×

1

2

=

5

4

．
故答案為：

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性．