Question

19．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點W，頂點為C，拋物線的對稱軸與x軸的交點為D．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點E（m，0），F(xiàn)（m+2，0）為x軸上兩點，其中2＜m＜4，EE′，F(xiàn)F′分別垂直于x軸，交拋物線于點E′，F(xiàn)′，交BC于點M，N，當ME′+NF′的值最大時，在y軸上找一點R，使|RF′-RE′|的值最大，請求出R點的坐標及|RF′-RE′|的最大值；
（3）如圖2，已知x軸上一點P（$\frac{9}{2}$，0），現(xiàn)以P為頂點，2$\sqrt{3}$為邊長在x軸上方作等邊三角形QPG，使GP⊥x軸，現(xiàn)將△QPG沿PA方向以每秒1個單位長度的速度平移，當點P到達點A時停止，記平移后的△QPG為△Q′P′G′．設△Q′P′G′與△ADC的重疊部分面積為s．當Q′到x軸的距離與點Q′到直線AW的距離相等時，求s的值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線與x軸的交點坐標和頂點坐標，用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出E′、F′的坐標表示，然后求出E′M、F′N，用二次函數(shù)的頂點坐標求出當m=3時，ME′+NF′的值最大，得到E′、F′的坐標，再求出E′F′的解析式，當點R在直線E′F′與y軸的交點時，|RF′-RE′|的最大值，從而求出R點的坐標及|RF′-RE′|的最大值；
（3）分類討論Q點在∠WAB的角平分線或外角平分線上時，運用三角形相似求出相應線段，在求出△Q′P′G′與△ADC的重疊部分面積為S．

解答 解：（1）令y=0，則-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=0，
解方程得：x=6或x=-2，
∴A（-2，0），B（6，0），
又y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²+4$\sqrt{3}$，
又頂點C（2，4$\sqrt{3}$），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，代入B、C兩點坐標得：
$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{2k+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$；
（2）如圖1，
∵點E（m，0），F(xiàn)（m+2，0），
∴E′（m，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$），F(xiàn)′（m+2，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+4$\sqrt{3}$），
∴E′M=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$m+6$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+2$\sqrt{3}$m-3$\sqrt{3}$，
F′N=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+4$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$m+4$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m，
∴E′M+F′N=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+2$\sqrt{3}$m-3$\sqrt{3}$+（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²+3$\sqrt{3}$m-3$\sqrt{3}$，
當m=-$\frac{3\sqrt{3}}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$=3時，E′M+F′N的值最大，
∴此時，E′（3，$\frac{15\sqrt{3}}{4}$）F′（5，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），
∴直線E′F′的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{27\sqrt{3}}{4}$，
∴R（0，$\frac{27\sqrt{3}}{4}$），
根據(jù)勾股定理可得：RF′=10，RE′=6，
∴|RF′-RE′|的值最大值是4；
（3）由題意得，Q點在∠WAB的角平分線或外角平分線上，
①如圖2，當Q點在∠WAB的角平分線上時，
Q′M=Q′N=$\sqrt{3}$，AW=$\sqrt{31}$，
∵△RMQ′∽△WOA，
∴$\frac{RQ′}{WA}=\frac{MQ′}{AO}$
∴RQ′=$\frac{\sqrt{93}}{2}$，
∴RN=$\frac{\sqrt{93}}{2}$+$\sqrt{3}$，
∵△ARN∽△AWO，
∵$\frac{AO}{AN}=\frac{WO}{RN}$
∴AN=$\frac{2+\sqrt{31}}{3}$，
∴DN=AD-AN=4-$\frac{2+\sqrt{31}}{3}$=$\frac{10-\sqrt{31}}{3}$，
∴S=$\frac{131\sqrt{3}-20\sqrt{93}}{27}$；
②如圖3，當Q點在∠WAB的外角平分線上時，
∵△Q′RN∽△WAO，
∴RQ′=$\frac{\sqrt{93}}{2}$，
∴RM=$\frac{\sqrt{93}}{2}$-$\sqrt{3}$，
∵△RAM∽△WOA，
∴AM=$\frac{\sqrt{31}-2}{3}$，
在RtQ′MP′中，MP′=$\sqrt{3}$Q′M=3，
∴AP′=MP′-AM=3-$\frac{\sqrt{31}-2}{3}$=$\frac{11-\sqrt{31}}{3}$，
在Rt△AP′S中，P′S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{11-\sqrt{31}}{3}$，
∴S=$\frac{76\sqrt{3}-11\sqrt{93}}{12}$．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質，三角形的三邊關系，三角形相似的判定與性質以及數(shù)形結合和分類討論思想的綜合運用，此題牽扯知識面廣，綜合性強，難度較大．