Question

如圖，點A、B、C、D在圓O上，且AB=AC．
（1）若D為弧

BC

上一點，如圖①，AD交BC于點E．求證：AB²=AD•AE；
（2）若D為弧

AC

上一點，AD交BC的延長線于點E，（1）中的結論還成立嗎？請在圖②中補出相應圖形，并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,圓周角定理

專題：

分析：（1）如圖1，作輔助線；證明△ABE∽△ADB，即可解決問題．
（2）如圖2，作輔助線；證明△ABE∽△ADB，即可解決問題．

解答：證明：（1）如圖1，連接BD；
則∠D=∠C；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABE=∠D；而∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．
（2）在圖2中，結論AB²=AD•AE仍然成立．理由如下：
如圖2，連接BD；
則∠ADB=∠ACB；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABE=∠ADB；
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE．

點評：該題以圓為載體，以考查圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點為核心構造而成；解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形．