Question

15．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，ED=EC，AC和ED交于點(diǎn)F，若AE=$\frac{12}{5}$，則CF=$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 作EG∥AC交BC的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得到△EBG是等邊三角形，求出CG的長(zhǎng)，證明△BED≌△GEC，求出BD，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．

解答 解：作EG∥AC交BC的延長(zhǎng)線于G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠G=60°，又∠B=60°，
∴△EBG是等邊三角形，
∴EB=EG=BG，
∴CG=AE=$\frac{12}{5}$，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠G，
∴∠BED=∠GEC，
在△BED和△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EG}\\{∠BED=∠GEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△GEC，
∴BD=CG=$\frac{12}{5}$，
∴EG=BG=$\frac{36}{5}$，
∵EG∥AC，DC=CG，
∴CF=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{18}{5}$．
故答案為：$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形中位線定理和全等三角形的判定和性質(zhì)定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．