Question

（2012•槐蔭區(qū)一模）如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC₁，交斜邊AC于點C₁，C₁B₁⊥AB于點B₁，設弧BC₁，線段C₁B₁，B₁B圍成的陰影部分的面積為S₁，然后以A為圓心，AB₁為半徑作弧B₁C₂，交斜邊AC于點C₂，C₂B₂⊥AB于點B₂，設弧B₁C₂，C₂B₂，B₂B₁圍成的陰影部分的面積為S₂，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到的陰影部分的面積S₃=

π

2

-1

．S_n=

π-2

2n-2

．

Answer 1

分析：每一個陰影部分的面積都等于扇形的面積減去等腰直角三角形的面積．求得AB₂、AB₃的長．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：根據(jù)題意，得
AC₁=AB=4．
所以AC₂=AB₁=2

2

．
所以AC₃=AB₂=2．
所以AB₃=

2

．
所以陰影部分的面積
S₃=

45π×22

360

-

1

2

×2，
=

π

2

-1；
∵AC₁=AB=4．
由圖可知，
AB₁=4cosn45°，
AB₂=4cos45°•cos45°，
AB₃=4cos45°•cos45°•cos45°，
…，
AB_n-1=4（cos45°） ^n-1=4×（

2

2

）^n-1，
AB_n=4（cos45°） ^n-1=4×（

2

2

）ⁿ，
S₁=S_{扇形ABn-1Cn}-S_△ABnCn=

45π×[4( 2 2 ) n-1] 2

360

-

1

2

×4×（

2

2

）ⁿ×4×（

2

2

）ⁿ
=2π×（

2

2

）^2n-2-8×（

2

2

）²ⁿ
=（

2

2

）²ⁿ[2π×（

2

2

）^-2-8]
=（

2

2

）²ⁿ（4π-8）
=（

1

2

）ⁿ（4π-8）
=

π-2

2 n-2

．
故答案為：

π

2

-1，

π-2

2 n-2

．

點評：本題考查了扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式同時要熟悉三角函數(shù)的計算是解題的關鍵，要知道每一個陰影部分的面積都等于扇形的面積減去等腰直角三角形的面積．