Question

（2012•佳木斯）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12

2

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-18，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）如答圖1所示，構(gòu)造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長(zhǎng)度，即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知E點(diǎn)坐標(biāo)，欲求直線DE的解析式，需要求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．如答圖1所示，構(gòu)造相似三角形△ODG∽△OBA，由線段比例關(guān)系求出D點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以求出直線DE的解析式；
（3）如答圖2所示，符合題意的點(diǎn)Q有4個(gè)，注意不要遺漏．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F
在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°，BC=12

2

∴CF=BF=12     
∵C 的坐標(biāo)為（-18，0）
∴AB=OF=6
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，12）．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G
∵AB∥DG
∴△ODG∽△OBA       
∵

DG

AB

=

OD

OB

=

OG

OA

=

2

3

，AB=6，OA=12
∴DG=4，OG=8   
∴D（-4，8），E（0，4）
設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k≠0）
∴

-4k+b=8 b=4

∴

k=-1 b=4

∴直線DE解析式為y=-x+4．

（3）結(jié)論：存在．
設(shè)直線y=-x+4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4

2

．
如答圖2所示，有四個(gè)菱形滿足題意．
①菱形OEP₁Q₁，此時(shí)OE為菱形一邊．
則有P₁E=P₁Q₁=OE=4，P₁F=EF-P₁E=4

2

-4．
易知△P₁NF為等腰直角三角形，∴P₁N=NF=

2

2

P₁F=4-2

2

；
設(shè)P₁Q₁交x軸于點(diǎn)N，則NQ₁=P₁Q₁-P₁N=4-（4-2

2

）=2

2

，
又ON=OF-NF=2

2

，∴Q₁（2

2

，-2

2

）；
②菱形OEP₂Q₂，此時(shí)OE為菱形一邊．
此時(shí)Q₂與Q₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴Q₂（-2

2

，2

2

）；
③菱形OEQ₃P₃，此時(shí)OE為菱形一邊．
此時(shí)P₃與點(diǎn)F重合，菱形OEQ₃P₃為正方形，∴Q₃（4，4）；
④菱形OP₄EQ₄，此時(shí)OE為菱形對(duì)角線．
由菱形性質(zhì)可知，P₄Q₄為OE的垂直平分線，
由OE=4，得P₄縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=-x+4得橫坐標(biāo)為2，則P₄（2，2），
由菱形性質(zhì)可知，P₄、Q₄關(guān)于OE或y軸對(duì)稱，∴Q₄（-2，2）．
綜上所述，存在點(diǎn)Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（2

2

，-2

2

），Q₂（-2

2

，2

2

），Q₃（4，4），Q₄（-2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了坐標(biāo)平面內(nèi)平面圖形的性質(zhì)，包括直角梯形、等腰直角三角形、相似三角形、菱形、正方形等，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．第（1）（2）問(wèn)難度不大，第（3）問(wèn)中考生容易漏掉菱形的某種情形，是本題的難點(diǎn)．