Question

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)．
（1）當(dāng)BP=2時(shí)．求證：△BEP∽△CPD；
（2）若BP=5，過(guò)點(diǎn)P作射線(xiàn)PF，交CD所在的直線(xiàn)于點(diǎn)F，使得△BEP與△CPF相似．求此時(shí)CF的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．
∵BE=2，BP=2，CP=4，CD=4，
∴，
∴△BEP∽△CPD．

（2）解：由已知，BP=5，BE=2，CP=1，
由（1）∠B=∠C，
若要△BEP與△CPF相似，
則只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可．
①當(dāng)∠BPE=∠CPF時(shí)（點(diǎn)F落在圖中F₁處），△BPE∽△CPF
此時(shí)，，可得CF=
②當(dāng)∠BPE=∠CFP時(shí)（點(diǎn)F落在圖中F₂處），△BPE∽△CFP
此時(shí)，，可得CF=
∴當(dāng)△BEP與△CPF相似時(shí)，CF的長(zhǎng)度為或．
分析：（1）根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)判定；
（2）若要△BEP與△CPF相似，則只需∠BPE=∠CPF或∠BPE=∠CFP即可，那么分兩種情況進(jìn)行考慮．
點(diǎn)評(píng)：主要考查對(duì)相似三角形的判定的理解及運(yùn)用，難易程度適中．