Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．直角∠EPF的頂點P是BC中點，PE、PF分別交AB、AC于點E、F．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（E點和F點可以與A、B、C重合）以下結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S?_AEPF=

1

2

S_△ABC；④EF最長等于

2

AP．上述結(jié)論中正確的有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷．

解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP=PC=PB，∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，
∴∠APB=∠APC=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
在△AEP和△CFP中

∠PAE=∠C=45° AP=CP ∠APE=∠CPF

∴△AEP≌△CFP，
同理△APF≌△BPE，
∴AE=CF，PE=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴S_△AEP=S_△CPF，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF
=S_△CPF+S_△APF
=S_△APC
=

1

2

S_△ABC，
當(dāng)E和A重合，F(xiàn)和C重合時，EF最長，此時EF=AC=

AP2+CP2

=

2

AP，
∴①②③④都正確，
即正確的有4個，
故選D．

點評：本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．