Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=2 與x軸交于點C，直線y=-2x+7經(jīng)過拋物線上一點B（5，m），且與直線x=2交于點E．
（1）求m的值及該拋物線的函數(shù)關系式；
（2）若點D是x軸上一動點，當△DCB∽△ECB時，求點D的坐標；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PC？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點B（5，m）在直線y=-2x+7上，
∴m=-5×2+7=-3，
∴B（5，-3），
∵拋物線經(jīng)過原點O和點A，對稱軸為x=2，
∴點A的坐標為（4，0）
設所求的拋物線對應函數(shù)關系式為y=a（x-0）（x-4），
將點B（5，-3）代入上式，
得-3=a（5-0）（5-4），
∴a=-，
∴所求的拋物線對應的函數(shù)關系式為y=-x（x-4），
即y=-x²+x．

（2）∵點A（4，0），B（5，-3），C（2，0），
∴AC=4-2=2，BC==3，
當點D在直線x=2的右側時，
當△DCB∽△ECB，
∴=，
即=，
解得：CD=9，
∴點D的坐標為：（11，0），
當點D在直線x=2的左側時，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，
且∠ACB＜∠DCB，
∴在△DCB中不可能存在與∠DCB相等的角，
即此時不存在點使三角形相似；
綜上所述，存在點D的坐標是（11，0），使三角形相似；

（3）存在符合條件的點P使PB=PC，
∵C（2，0），B（5，-3），
∴∠ACB=45°，
BC垂直平分線的解析式為：y=x-5，
∴，
∴解得：，
，
∴符合條件的點P的坐標為（，）或（，）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸為x=2，且過O、A兩點，因此A點的坐標為（4，0）．可用交點式二次函數(shù)通式來設拋物線的解析式，然后根據(jù)直線y=-2x+7求出B點的坐標，將B點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）可根據(jù)點A（4，0），B（5，-3），C（2，0）坐標，當點D在直線x=2的右側時，進而得出=，進而得出CD的長．當點D在直線x=2的左側時，得出在△DCB中不可能存在與∠DCB相等的角，進而得出答案．
（3）由題意可知：P點必為線段BC垂直平分線與拋物線的交點，可先求出線段BC的垂直平分線，然后聯(lián)立拋物線的解析式，即可求出符合條件的P點的坐標．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求以一次函數(shù)解析式以及頂點式求二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點坐標求法等知識，結合數(shù)形結合熟練應用函數(shù)交點求法是解決問題的關鍵．