Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點為G，連接AG交CD于K．

（1）求證：KE=GE；

（2）若AC∥EF，試判斷線段KG、KD、GE間的相等

數量關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）由∠KGE=∠AKH=∠GKE可證KE=GE

（2）由△GKD∽△EGK可證得KG²=KD?GE

（3）FG=

【解析】

試題分析：解：（1）證明：如答圖1，連接OG．

∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°．………1分

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°．

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG． ……………2分

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE．∴KE=GE．………3分

（2）=KD·GE．理由如下：

連接GD，如答圖2所示．

∵AC∥EF，∴∠E=∠C．　　　…………………４分

又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD．

∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK．…………5分

∴．∴KG²=KD?GE．…………………6分

（3）連接OG，OC，如答圖3所示．

由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=．………7分

∴可設AH=3t，則AC=5t，CH=4t．

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t．∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH²+HK²=AK²，

即（3t）²+t²=，解得t=．…………………8分

設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，即（﹣3t）²+（4t）²=²．

解得．    ………………………………………………………9分

∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形．  

在Rt△OGF中，OG==，tan∠OFG=tan∠CAH=＝，

∴FG=．     ……………………………………10分

考點：圓、相似、勾股定理、解直角三角形

點評：此題比較綜合，把幾個知識點綜合起來考察，主要要求學生對學過知識的提取與運用。