Question

5．如圖，在四邊形ABEC中，AB=AC，∠BAC=∠E=90°，AD⊥BE于D．
（1）若BD=3，求AD-CE的值；
（2）若S_四ABEC=16，在（1）中，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過C作CF⊥AD于F，則四邊形FDEC是矩形，得到DF=CE，通過△ABD≌△ACF，得到AF=BD=3，于是得到結果AD-CE=AD-DF=3；
（2）如圖2，過A作AG⊥EC交EC的延長線于G，則四邊形ADEG是矩形，同理可證得△ABD≌△ACG，得到AG=AD，S_{四邊形ADEG}=S_四ABEC=16，推出四邊形ADEG是正方形得到AD=4，由勾股定理得到結果AB=$\sqrt{{AD}^{2}{+BD}^{2}}$=5．

解答 解：（1）如圖1，過C作CF⊥AD于F，
則四邊形FDEC是矩形，
∴DF=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠3=∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABD與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AFC=90°}\\{∠1=∠2}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴AF=BD=3，
∴AD-CE=AD-DF=3；

（2）如圖2，過A作AG⊥EC交EC的延長線于G，
則四邊形ADEG是矩形，
同理可證得△ABD≌△ACG，
∴AG=AD，S_{四邊形ADEG}=S_四ABEC=16，
∴四邊形ADEG是正方形，
∴AD=4，
∴AB=$\sqrt{{AD}^{2}{+BD}^{2}}$=5．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，正方形的性質，勾股定理，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．