Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（8，0），C（0，3），M是OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著在CB以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，達(dá)到點(diǎn)B后停止，連接OP，PM．
（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

；（用含有r的代數(shù)式表示）
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△OPM是以PM為腰的等腰三角形？
（3）如圖2，以PC為直徑作⊙D，連接BM，試求t為何值時(shí)，⊙D與BM相切？并直接寫出⊙D與線段BM有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)PM=OP時(shí)，則點(diǎn)P在OM的垂直平分線上；②當(dāng)PM=OM時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)F，再分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)M左側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)M右側(cè)時(shí)．
（3）當(dāng)⊙D與BM相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，根據(jù)△BDE∽△MBA列出比例式，求出t的值．

解答：解：（1）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，3）．

（2）∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（8，0），C（0，3），
∴OC=3，OA=8，
∵M(jìn)點(diǎn)為OA中點(diǎn)，
∴OM=AM=4，
①當(dāng)PM=OP時(shí)，則點(diǎn)P在OM的垂直平分線上，
∴PC=2，t=1；
②當(dāng)PM=OM時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OA于點(diǎn)F，則易得，PF=OC=3，

∴FM=

42-32

=

7

．
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)M左側(cè)時(shí)，有PC=OF=4-

7

，∴t=

4- 7

2

．
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)M右側(cè)時(shí)，有PC=OF=4+

7

，∴t=

4+ 7

2

．
∴當(dāng)t=1或t=

4- 7

2

或t=

4+ 7

2

時(shí)，△OPM是以PM為腰的等腰三角形．

（3）如圖2，當(dāng)⊙D與BM相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接DE，則DE⊥BE，∠DEB=90°，

∵PC=2t，∴CD=DP=DE=t，BD=8-t．
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA∥BC，∠OAB=90°，
∴∠AMB=∠CBM，且在直角Rt△ABM中，易得BM=5，
∴△BDE∽△MBA，
∴

DE

AB

=

BD

BM

，即

t

3

=

8-t

5

，
∴t=3，
∴當(dāng)t=3時(shí)，⊙D與BM相切，
⊙D與線段BM有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是3＜t≤

25

8

．
故答案為（2t，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和三角形相似及等腰三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，要注意進(jìn)行分類討論．