Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式．

（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)，（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作軸的垂線交軸于點(diǎn)H，交直線AB于點(diǎn)F，作PG⊥AB于點(diǎn)G，若△PFG的周長最大，求P點(diǎn)的坐標(biāo)

（3）在拋物線上是否存在除點(diǎn)D以外的點(diǎn)M，使得△ABM與△ABD的面積相等？ 若存在，請求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）P（，）；（3）M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．

 

【解析】

試題分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；

（2）首先根據(jù)△PFG是等腰直角三角形，設(shè)P（，）得到F（，），進(jìn)而得到PF=，從而得到△PFG周長為：，配方后即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等時，根據(jù)同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等，分別求得直線DM1解析式為：和直線M3M2解析式為：，聯(lián)立之后求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）∵直線AB：與坐標(biāo)軸交于A（﹣3，0）、B（0，3），

代入拋物線解析式中，得：，解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形，設(shè)P（，），∴F（，），

∴PF=，

△PFG周長為：=，

∴當(dāng)時，△PFG周長的最大值，而當(dāng)時，，∴P（，）；

（3）點(diǎn)M有三個位置，如圖所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面積等于△ABD的面積．

此時DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等，

∵D（﹣1，4），∴E（﹣1，2）、則N（﹣1，0）

∵中，k=1，∴直線DM1解析式為：，直線M3M2解析式為：，

∴或，

∴，，，，

∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．