Question

已知二次函數(shù)y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

．
（1）求證：不論k為任何實數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；
（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點A，B，且A點坐標(biāo)為（3，0），求B點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）令y=0得到關(guān)于x的一元二次方程，再用k表示出該方程的判別式，可判斷出其根的情況，可證得結(jié)論；
（2）把A點坐標(biāo)代入可求得拋物線的解析式，再令y=0，可求得方程的解，可得出B點坐標(biāo)．

解答： （1）證明：令y=0可得

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
∵△=k²-4×

1

2

×（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴不論k為任何實數(shù)，方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0總有實數(shù)根，
∴二次函數(shù)y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

的圖象與x軸總有公共點；
（2）解：∵A（3，0）在拋物線y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

上，
∴

1

2

×3²+3k+k-

1

2

=0，解得k=-1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，即

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得x=3或x=-1，
∴B點坐標(biāo)為（-1，0）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標(biāo)為對應(yīng)一元二次方程的兩根是解題的關(guān)鍵．