Question

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，它的內切圓⊙O分別與邊AC、BC相切于點E、F，射線BO、A0交直線EF于點M、N，求證：$\frac{1}{5}$＜$\frac{{S}_{△OMN}}{{S}_{△ABC}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)∠C=90°，它的內切圓⊙O分別與邊AC、BC相切于點E、F，于是得到△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠CEF=∠CFE=45°，由對頂角的性質得到∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，根據(jù)外角的性質得到∠NOB=∠AOM=∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，于是得到∠M=∠CAN=∠OAB，∠N=∠CBM=∠OBA，推出△NOM∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{{S}_{△MON}}{{S}_{△AOB}}$=（$\frac{\frac{1}{2}OC}{r}$）²=（$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}r}{r}$）=$\frac{1}{2}$，通過整式的化簡即可得到結論．

解答 解：∵∠C=90°，它的內切圓⊙O分別與邊AC、BC相切于點E、F，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴∠NFB=∠CFE=45°，∠MEA=∠CEF=45°，
∴∠NOB=∠AOM=∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠M=∠CAN=∠OAB，∠N=∠CBM=∠OBA，
∴△NOM∽△AOB，
∴$\frac{{S}_{△MON}}{{S}_{△AOB}}$=（$\frac{\frac{1}{2}OC}{r}$）²=（$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}r}{r}$）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△MON}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{\frac{1}{2}{S}_{△AOB}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}•AB•r}{\frac{1}{2}•AB•h}$=$\frac{r}{2h}$，
∵$\frac{r}{2h}≥\frac{r}{2（\sqrt{2}+1）r}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$＞$\frac{1}{5}$$\frac{r}{2h}＜\frac{r}{2×2r}$=$\frac{1}{4}$，（h＞2r）
∴$\frac{1}{5}$＜$\frac{{S}_{△OMN}}{{S}_{△ABC}}$＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心，相似三角形的判定和性質，三角形的面積，熟練掌握三角形的內切圓的性質是解題的關鍵．