Question

7．如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格圖中進行下列操作（以下結果保留根號）：
（1）利用網(wǎng)格確定該圓弧所在圓的圓心D點的位置，并寫出D點的坐標為（2，0）；
（2）連接AD、CD，⊙D的半徑為2$\sqrt{5}$，∠ADC的度數(shù)為90°；
（3）將此圓弧所在的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓半徑為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用垂徑定理可作AB和BC的垂直平分線，兩線的交點即為D點，可得出D點坐標；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐標得出，利用勾股定理可求得AD和CD，過C作CE⊥x軸于點E，則可證得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度數(shù)；
（3）先求得扇形DAC的面積，設圓錐底面半徑為r，利用圓錐側面展開圖的面積=πr•AD，可求得r．

解答 解：（1）如圖1，分別作AB、BC的垂直平分線，兩線交于點D，

∴D點的坐標為（2，0），
故答案為：（2，0）；
（2）如圖2，連接AD、CD，過點C作CE⊥x軸于點E，

則OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2$\sqrt{5}$，
即⊙D的半徑為2$\sqrt{5}$，
且CE=2，DE=4，
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DE}\\{∠AOD=∠CED}\\{OD=CE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=90°，
故答案為：2$\sqrt{5}$；90°；
（3）弧AC的長=$\frac{90}{180}$π×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$π，
設圓錐底面半徑為r則有2πr=$\sqrt{5}$π，解得：r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以圓錐底面半徑為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查垂徑定理和全等三角形的判定和性質、扇形和圓錐的有關計算等知識的綜合應用，掌握確定圓心的方法，即確定出點D的坐標是解題的關鍵，在求圓錐底面半徑時注意圓錐的側面積計算公式利用．