Question

7．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上，若四邊形EGFH是菱形，則菱形EGFH面積的最大值為20．

Answer 1

分析 首先連接EF交AC于O，由四邊形EGFH是菱形，易證得△CFO≌△AOE，可得AO=CO，繼而求得AO的長，易證得△AOE∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得OE的長，再由當(dāng)GH=AC時，菱形EGFH面積的最大，即可求得答案．

解答 解；連接EF交AC于O，
∵四邊形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO與△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠OAB}\\{∠FOC=∠AOE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{8}$=$\frac{OE}{4}$，
∴OE=$\sqrt{5}$，
∴EF=2OE=2$\sqrt{5}$，
當(dāng)GH=AC時，菱形EGFH面積的最大，最大值為：$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=20．
故答案為：20．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．