Question

一位同學(xué)在研究中發(fā)現(xiàn)：0×1×2×3+1=1=1²；1×2×3×4+1=25=5²；2×3×4×5+1=121=11²；3×4×5×6+1=361=19²；
…
由此他猜想到：任意四個連續(xù)自然數(shù)的積加上1，一定是一個正整數(shù)的平方，你認(rèn)為他的猜想對嗎？請說出理由，如果不對，請舉一反例．

Answer 1

解：對；理由是：設(shè)n為任意自然數(shù)，則四個連續(xù)自然數(shù)的積可以表示為：n（n+1）（n+2）（n+3），
因為n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=n（n+3）（n+1）（n+2）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）[（n²+3n）+2]+1
=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
分析：此題可以假設(shè)正確，再用任意四個連續(xù)的自然數(shù)的積加上1進(jìn)行因式分解，看能否得到一個正整數(shù)的平方．
點(diǎn)評：本題通過對命題的證明考查了因式分解的應(yīng)用，題目較為新穎．