Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=

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，P為△ABC中內(nèi)一點，AP=1，M、N分別為AB、AC邊上的兩動點，則△PMN周長的最小值為

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：設(shè)點P關(guān)于AC的對稱點為K，關(guān)于AB的對稱點為J，當(dāng)點M、N在KJ上時，△PMN的周長最�。�

解答：解：分別作點P關(guān)于AC的對稱點為K，關(guān)于AB的對稱點為J，連接KJ，分別交AC、AB于點M、N，連接AP、AK、AJ、PM、PN．
∵點P關(guān)于AC的對稱點為K，關(guān)于AB的對稱點為J，
∴PM=KM，AP=AK，∠KAC=∠PAC；
∵點P關(guān)于AB的對稱點為J，
∴PN=JN，AP=AJ，∠JAB=∠PAB，
∴AK=AJ=AP=1，∠KAJ=∠KAC+∠PAC+∠PAB+∠JAB=2∠PAC+2∠PAB=2∠BAC=60°，
∴△KAJ是等邊三角形，
∴KJ=AK=AJ=1．
∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=KM+MN+JN≥KJ=1．
故答案為1．

點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關(guān)鍵．