Question

已知：拋物線（a≠0），頂點C （1，），與x軸交于A、B兩點，．

（1）求這條拋物線的解析式．

（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A、D、B、E，點P為線段AB上一個動點（P與A、B兩點不重合），過點P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請判斷是否為定值? 若是，請求出此定值；若不是，請說明理由．

（3）在（2）的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FG⊥EP ，F(xiàn)G分別與邊AE、BE相交于點F、G（F與A、E不重合，G與E、B不重合），請判斷是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為

將A（－1，0）代入:       ∴   

∴ 拋物線的解析式為，即：

（2）是定值， 

∵ AB為直徑，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE

∴ △APM∽△ABE，∴  ①

同理:   ② 

① + ②:

（3）∵ 直線EC為拋物線對稱軸，∴ EC垂直平分AB

∴ EA=EB

∵ ∠AEB=90°

∴ △AEB為等腰直角三角形．

∴ ∠EAB=∠EBA=45°

如圖，過點P作PH⊥BE于H，

由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形，

∴PH=ME且PH∥ME

在△APM和△PBH中

∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°

∴ PH=BH

且△APM∽△PBH

∴

∴ �、�

在△MEP和△EGF中，

∵ PE⊥FG，  ∴ ∠FGE+∠SEG=90°

∵∠MEP+∠SEG=90°  ∴ ∠FGE=∠MEP

∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF

∴ 　　　　②

由①、②知：