Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖1，正方形ABCD中，AB=6，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q．

（1）求證：DP=DQ；

（2）如圖2，小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E，連接PE，他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系，請猜測他的結(jié)論并予以證明；

（3）如圖3，固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動，轉(zhuǎn)動三角板，使三角板的一邊交AB的延長線于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q，仍作∠PDQ的平分線DE交BC延長線于點(diǎn)E，連接PE，若AB：AP=3：4，請幫小明算出△DEP的面積．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見試題解析;（2）詳見試題解析;（3）

【解析】

試題分析：

（1）證明△ADP≌△CDQ，即可得到結(jié)論：DP=DQ；

（2）證明△DEP≌△DEQ，即可得到結(jié)論：PE=QE；

（3）與（1）（2）同理，可以分別證明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的長度，從而可求得S_△DEQ=，而△DEP≌△DEQ，所以S_△DEP=S_△DEQ=．

試題解析：（1）證明：∵∠ADC=∠PDQ=90°

∴∠ADP=∠CDQ

∠DAP＝∠DCQ＝90°  AD＝CD

∴△ADP≌△CDQ（ASA）

∴DP=DQ                                （4分）

（2）猜測：PE=QE                    （5分）

由（1）可知，DP=DQ

∠PDE＝∠QDE＝45°  DE＝DE

∴△DEP≌△DEQ（SAS）

∴PE=QE                             （8分）

（3）∵AB:AP=3:4，AB=6

∴AP=8，BP=2

與（1）同理，可以證明△ADP≌△CDQ

∴CQ=AP=8

與（2）同理，可以證明△DEP≌△DEQ

∴PE=QE

設(shè)QE=PE=x，則BE=BC+CQ-QE=14-x

在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP²+BE²=PE²

即：2²+（14-x）²=x²，

解得：x=  即QE=

∴S_△DEQ=××6=

∵△DEP≌△DEQ

∴S_△DEP=S_△DEQ=                （12分）

考點(diǎn)：四邊形綜合題．