Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=150°，AB的垂直平分線MN分別交BC、AB于點M、N，若BM=3，求BC的長．

Answer 1

解：連接AM，過點A作AO⊥BC于點O．
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對等角），又∠BAC=150°，
∴∠B=∠C=15°
∵MN是AB的垂直平分線，
∴AM=BM=3．（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）
∴∠MAB=∠B=15°（等邊對等角），
∴∠AMO=∠B+∠MAB=30°．
又∵AO⊥BC，
∴OA=AM=（直角三角形中，30°的角所對直角邊等于斜邊一半）
在Rt△AOM中，由勾股定理，得MO=．
∴BO=BM+MO=
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，而AO⊥BC，
∴BO=OC．（等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線互相重合）
則BC=2BO=．
分析：連接AM，根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩短點的距離相等，可以得到AM=BM，由等腰三角形的∠A=150°，求出∠B=15°，所以∠AMC=30°，然后過A作AO⊥BC，根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OM的長度，所以BO的長度也就可以求出，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，BC=2BO．
點評：本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，作出輔助線是解題的關鍵．