Question

6．如圖，在平面直角坐標系中．O為坐標原點，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設點P的運動時間為t秒．過點P與直線AB垂直的直線與y軸交于點E．
（1）當t為何值時，點P到直線AB的距離為$\frac{12}{5}$．
（2）在點P的運動的過程中，是否存在點P，使△EOP≌AOB？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可先求得A、B的坐標，則可求得OA、OB的長，設直線PE與直線AB交于點F，由條件可證明△APF∽△ABO，利用相似三角形的性質(zhì)可求得t的值；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可知OB=OP，當點P在線段AO上時，則有OP=OA-AP=4-t，當點P在線段AO的延長線上時，則有OP=AP-AO=t-4，則分別可求得t的值．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，令y=0可得-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，令x=0，可求得y=3，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
如圖，設直線PE與直線AB交于點F，

則AP=t，
由題意可知∠PFA=∠AOB=90°，且∠PAF=∠BAO，
∴△APF∽△ABO，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PF}{OB}$，即$\frac{t}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}}{3}$，解得t=4，
即當t的值為4時，點P到直線AB的距離為$\frac{12}{5}$；
（2）當△EOP≌AOB時，可知OP=OB=3，
當點P在線段AO上時，如圖2，

則有AP=t，OA=4，
∴OP=OA-AP=4-t，
∴4-t=3，解得t=1；
當點P在線段AO的延長線上時，如圖3，

則有AP=t，AO=4，
∴OP=AP-AO=t-4，
∴t-4=3，解得t=7，
綜上可知存在滿足條件的點P，當t的值為1或7時有△EOP≌AOB成立．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)與坐標軸的交點、勾股定理、相似三角開形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、分類討論思想及方程思想．在（1）中證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)得到關于t的方程是解題的關鍵，在（2）中利用全等三角形的性質(zhì)得到OP=3，再分兩種情況分別得到關于t的方程是解題的關鍵．本題考查知識點不多，難度不大．