Question

如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（-2，0），∠AOB=
45°，點A在第三象限，雙曲線y=

k

x

過點A，在x軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′．
（1）當(dāng)點O′與點A重合時，點P的坐標(biāo)是

 

．
（2）設(shè)P（t，0），當(dāng)線段O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)點O?與點A重合時，即點O與點A重合，進一步解直角三角形AOB，利用軸對稱的現(xiàn)在解答即可；
（2）作B′C⊥OP于C，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和點P的坐標(biāo)分別求出O′和B′在雙曲線上時，根據(jù)設(shè)出的點P的坐標(biāo)，利用A、B′兩點均在同一雙曲線上得到有關(guān)t的方程求得t的值后即可確定點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)點O?與點A重合時
∵∠AOB=45°，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后是O?B?．
AP=OP，
∴△AOP′是等腰直角三角形，
∴此時點P與點B重合，
∵B（-2，0），
∴點P的坐標(biāo)是（-2，0），
故答案為：（-2，0）．

（2）由（1）知，當(dāng)P的坐標(biāo)是（-2，0）時，直線O?B?與雙曲線有交點O′，
當(dāng)B′在雙曲線上時，作B′C⊥OP于C，
∵BP=B′P，∠B′BP=45°，
∴△BB′P是等腰直角三角形，
∴BP=B′P=t-2，
∴B′C=t-2，
∵P（t，0），
∴B′的坐標(biāo)是（t，t-2），
∵∠ABO=90°，∠AOB=45°，OB=2，
∴OB=AB=2，
∴A（-2，-2），
∵A和B′都在雙曲線上，
∴t（t-2）=-2×（-2），
解得：t=1±

5

，
根據(jù)雙曲線的對稱性可得t的取值范圍是：2≤t≤1+

5

或-1-

5

≤t≤-2．
故答案為：-2，2≤t≤1+

5

或-1-

5

≤t≤-2．

點評：本題主要考查了對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，解不等式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根的判別式等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．