Question

13．已知$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=$\frac{t}{x+y+z}$，記A=$\frac{x+y}{z+t}$+$\frac{y+z}{x+t}$+$\frac{z+t}{x+y}$+$\frac{t+x}{y+z}$，證明：A是一個整數(shù)．

Answer 1

分析 分兩種情況進行計算，①用等比的性質(zhì)找出x+y=-（z+t），x+t=-（y+z），代入A即可，②用等比的性質(zhì)找出x+y=z+t，x+t=y+z，代入A即可，

解答 證明：設(shè)$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=$\frac{t}{x+y+z}$=k，
①當x+y+z+t=0時，則有x+y+z=-t，
∴k=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{t}{x+y+z}$=-1，
∴x+y=-（z+t），x+t=-（y+z），
∴A=$\frac{x+y}{z+t}$+$\frac{y+z}{x+t}$+$\frac{z+t}{x+y}$+$\frac{t+x}{y+z}$
=$\frac{-（z+t）}{z+t}$+$\frac{-（x+t）}{x+t}$+$\frac{-（x+y）}{x+y}$+$\frac{-（y+z）}{y+z}$
=-1+（-1）+（-1）+（-1）
=-4
∴A是一個整數(shù)．
②當x+y+z+t≠0時，
∵$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=$\frac{t}{x+y+z}$=k，
∴k=$\frac{x+y+z+t}{3（x+y+z+t）}$=$\frac{1}{3}$，
∵$\frac{x}{y+z+t}$=$\frac{y}{z+t+x}$=k=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{x+y}{（x+z）+（x+y）}$=$\frac{1}{3}$，
∴x+y=z+t，
∵$\frac{y}{z+t+x}$=$\frac{z}{t+x+y}$=k=$\frac{1}{3}$，
∴y+z=x+t，
∴A=$\frac{x+y}{z+t}$+$\frac{y+z}{x+t}$+$\frac{z+t}{x+y}$+$\frac{t+x}{y+z}$
=$\frac{z+t}{z+t}$+$\frac{x+t}{x+t}$+$\frac{x+y}{x+y}$+$\frac{y+z}{y+z}$
=1+1+1+1
=4，
∴A是一個整數(shù)．
即：A是一個整數(shù)．

點評 此題是分式的等式的性質(zhì)，主要考查了等比的性質(zhì)，分式的化簡，解本題的關(guān)鍵是熟練等比的性質(zhì)，難點是分兩種情況討論計算．