Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，AC為⊙O₁的直徑，CA、CB的延長線分別交⊙O₂于點(diǎn)D、E，AC=6cm，BE=11cm，AD=BC．求：
（1）BC的長；
（2）∠DEC的余弦值；
（3）兩圓⊙O₁和⊙O₂的圓心距．

Answer 1

分析：（1）已知了AC、BE的長，可直接由切割線定理求出BC的長；
（2）連接AB；此時(shí)四邊形ABED是⊙O₂的內(nèi)接四邊形，則∠CAB=∠E，因此只需在Rt△ABC中求得∠BAC的余弦值即可．
（3）連接AE，易知∠ABE=90°，由圓周角定理可得AE是⊙O₂的直徑，那么O₁O₂即為△ACE的中位線，在（1）中求得了BC的長，即可得到EC的長，根據(jù)三角形中位線定理即可求出兩圓的圓心距．

解答：解：（1）設(shè)BC=xcm，則AD=xcm，由切割線定理的推論知CA•CD=CB•CE；
6（6+x）=x（x+11），（1分）
即x²+5x-36=0，解得x₁=4，x₂=-9（舍去）
∴BC=4cm；（2分）

（2）連接AB；∵AC是⊙O₁的直徑，
∴CB⊥AB；
∴AB=

AC2-BC2

=

62-42

=2

5

；（4分）
又∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CAB=∠DEC，
∴cos∠DEC=cos∠CAB=

AB

AC

=

2 5

6

=

5

3

；（4分）

（3）連接AE；∵AB⊥BC，
∴∠ABE=90°；
∴AE是⊙O₂的直徑，O₁，O₂分別為AC、AE的中點(diǎn)．
∴O₁O₂=

1

2

CE=

1

2

（4+11）=

15

2

（cm）．（6分）

點(diǎn)評：此題主要考查了圓周角定理、切割線定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及解直角三角形的應(yīng)用等知識．