Question

5．（1）計(jì)算一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是2
（2）將上述數(shù)據(jù)都加上10，得到另一組數(shù)據(jù)11，12，13，14，15．請(qǐng)你求這組數(shù)據(jù)的方差，你發(fā)現(xiàn)了什么？
（3）若將第一組數(shù)據(jù)都乘以3，得到3，6，9，12，15．請(qǐng)你繼續(xù)求這組數(shù)據(jù)的方差，你又發(fā)現(xiàn)了什么？
（4）若將第一組數(shù)據(jù)先乘以a，再加上b，得到數(shù)據(jù)：a+b，2a+b，3a+b，4a+b，5a+b，想一想，這一組數(shù)據(jù)的方差是多少，請(qǐng)你直接寫出你猜想的結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）先算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式即可得出答案；
（2）根據(jù)如果將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變，即方差不變，從而得出答案；
（3）根據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)都放大或縮小相同的倍數(shù)，其平均數(shù)也有相對(duì)應(yīng)的變化，方差則變?yōu)檫@個(gè)倍數(shù)的平方倍，從而得出答案；
（4）設(shè)出原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，根據(jù)平均數(shù)和方差的公式性質(zhì)求解．

解答 解：（1）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：（1+2+3+4+5）÷5=3，
則方差是：$\frac{1}{5}$[（1-3）²+（2-3）²+（3-3）²+（4-3）²+（5-3）²]=2；
故答案為：2；

（2）由方差的計(jì)算公式S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上（或都減去）同一個(gè)常數(shù)后，它的平均數(shù)都加上（或都減去）這一個(gè)常數(shù)，兩數(shù)進(jìn)行相減，故方差不變，仍是2；．

（3）設(shè)原數(shù)據(jù)為：x₁，x₂，…，x_n；其平均數(shù)為$\overline{x}$；
每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3，得新數(shù)據(jù)為：3x₁，3x₂，…，3x_n；其平均數(shù)為3$\overline{x}$，
∵$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，
∴$\frac{1}{n}$[（3x₁-3$\overline{x}$）²+（3x₂-3$\overline{x}$）²+…+（3x_n-3$\overline{x}$）²]=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]×9=2×9=18；

（4）設(shè)這組數(shù)據(jù)為x₁，x₂，…x_n，平均數(shù)為$\overline{x}$，其方差為S₁²，
將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以a后再加上b，平均數(shù)變?yōu)閍$\overline{x}$+b，
則得到的一組新數(shù)據(jù)的方差為S₂²=$\frac{1}{n}$[（ax₁-a$\overline{x}$）²+（ax₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-a$\overline{x}$）²]=2a²；

點(diǎn)評(píng) 本題考查方差的計(jì)算公式的運(yùn)用：一般地設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)，x₁，x₂，…x_n，若每個(gè)數(shù)據(jù)都放大或縮小相同的倍數(shù)后再同加或同減去一個(gè)數(shù)，其平均數(shù)也有相對(duì)應(yīng)的變化，方差則變?yōu)檫@個(gè)倍數(shù)的平方倍．