Question

已知AB、AC是⊙O的切線，B、C是切點，BD是⊙O的直徑，連接AO、CD．
（1）求證：OA∥CD；
（2）過D點作DE∥AC，分別交AB、AO于E、F，若AB=BD，求

BE

BD

的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)BC，如圖，根據(jù)圓周角定理由BD是⊙O的直徑得到∠BCD=90°，再根據(jù)切線長定理得到AB=AC，OA平分∠BAC，則利用等腰三角形的性質(zhì)得OA⊥BC，于是根據(jù)平行線的判定方法得到OA∥CD；
（2）AC和BD的延長線交于點G，BC與OA相交于點H，如圖，設(shè)AB=BD=2a，則AC=2a，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥AB，OC⊥AC，在Rt△OAB中，利用勾股定理可計算出OA=

5

a，再利用面積法計算出BH=

2 5

5

a，則BC=2BH=

4 5

5

a；在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理計算出CD=

2 5

5

a，然后證明△GCD∽△GAO，利用相似比可計算出GD=

2

3

a，則BG=BD+DG=

8

3

a，接著根據(jù)平行線分線段成比例由DE∥AG得到

BE

BA

=

BD

BG

，再利用比例性質(zhì)可計算出

BE

BD

的值．

解答：（1）證明：連結(jié)BC，如圖，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴AB=AC，OA平分∠BAC，
∴OA⊥BC，
∴OA∥CD；
（2）解：AC和BD的延長線交于點G，BC與OA相交于點H，如圖，
設(shè)AB=BD=2a，則AC=2a，
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
在Rt△OAB中，∵OB=a，AB=2a，
∴OA=

OB2+AB2

=

5

a，
∵

1

2

BH•OA=

1

2

OB•AB，
∴BH=

OB•AB

OA

=

a•2a

5 a

=

2 5

5

a，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=

4 5

5

a，
在Rt△BCD中，CD=

BD2-BC2

=

(2a)2-( 4 5 5 a)2

=

2 5

5

a，
∵CD∥OA，
∴△GCD∽△GAO，
∴

GD

GO

=

CD

OA

，即

GD

GD+a

=

2 5 5 a

5 a

，
∴GD=

2

3

a，
∴BG=BD+DG=2a+

2

3

a=

8

3

a，
∵DE∥AG，
∴

BE

BA

=

BD

BG

，
∴

BE

BD

=

BA

BG

=

2a

8 3 a

=

3

4

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．