Question

在平面直角坐標系中，點A在雙曲線上，過A作AB⊥y軸于點B，AC⊥x軸于點C，將矩形OBAC沿對角線OA折疊后得C的對應(yīng)點為D，交AB邊于點E，如果A點的坐標是（m，1）．
（1）補全圖形，并求點E坐標；
（2）判斷點D是否落在已知的雙曲線上，并說明理由；
（3）在坐標平面內(nèi)是否存在點M，使以O(shè)、C、M、D為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1所示：
把y=1代入，x=，
∴A（，1）
設(shè)BE=x，則 AE=-x，
∵∠EAB=∠AOC，∠AOC=∠AOD，
∴∠EAO=∠AOE，
∴OE=-x，
在Rt△BOE中
則x²+1=（-x）²，
解得：x=
∴E（，1）；

（2）如圖2：過點D作DM⊥y軸于點M，DF⊥x軸于點F，
∵AC=1，CO=，
∴tan∠AOC==，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOF=60°，OF=DO•cos60°=，DF=DO•sin60°=，
∴D（，），
∵×=≠，
∴點D不在雙曲線上；

（3）如圖2，
存在，
當M點在第一象限，CO為菱形的一邊，且OCDM₁時，
∵CO=，∴DM₁=，
∵MD=，
∴M₁M=，
∴M₁的坐標為：（，），
當M點在第四象限，OC為對角線時，
菱形DOM₂C關(guān)于x軸對稱，
∴D點與M₂點關(guān)于x軸對稱，
∴M₂的坐標為：（，），
當M點在第二象限，CO為菱形的一邊，且OCDM₃時，
∵CO=，
∴DM₃=，
∵MD=，
∴M₃D=，
∴M₃的坐標為：（-，），
綜上所述：存在點M，使以O(shè)、C、M、D為頂點的四邊形是菱形，M點的坐標為：
M₁（，），M₂（，-），M₃（-，）．
分析：（1）首先根據(jù)A點的縱坐標得出A點的橫坐標，進而利用翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理求出E點坐標；
（2）根據(jù)各邊長得出∠AOD=30°，即可得出∠DOF=60°，利用OF=DO•cos60°，DF=DO•sin60°，求出D點坐標，進而利用反比例函數(shù)圖象上點的性質(zhì)得出；
（3）根據(jù)（2）所求以及菱形的性質(zhì)分別根據(jù)OC為對角線和一邊時求出M點坐標即可．
點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及翻折變換的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理等知識，根據(jù)翻折變換的知識得出D點坐標是解題關(guān)鍵．