Question

20．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4$\sqrt{3}$cm，點P為六邊形內(nèi)任一點．則點P到各邊距離之和為36cm．

Answer 1

分析 過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，由正六邊形的性質(zhì)可知AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，故HK⊥DE，過C作CG⊥BD，由等腰三角形的性質(zhì)及正六邊形的內(nèi)角和定理可知，DB⊥AB⊥DE，再由銳角三角函數(shù)的定義可求出BG的長，進(jìn)而可求出BD的長，由正六邊形的性質(zhì)可知點P到AF與CD的距離和及P到EF、BC的距離和均為BD的長，故可得出結(jié)論．

解答 解：過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF與CD的距離和及P到EF、BC的距離和均為HK的長，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BD∥HK，且BD=HK，
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12，
∴點P到各邊距離之和為3BD=3×12=36．
故答案為：36．

點評 本題考查的是正多邊形和圓及銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解時是解答此題的關(guān)鍵．