Question

如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在△ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于點(diǎn)E，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CD，交AD于點(diǎn)G．
（1）若CG=4，求DG的長(zhǎng)；
（2）若CG=BD，求證：AB=AC+CE．

Answer 1

（1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAD=∠DBE，
∵CG⊥CD，
∴∠GCD=90°，
∴∠GCD-∠GCE=∠ACB-∠GCE，
∴∠ACG=∠BCD，
∵在△AGC和△BCD中

∴△AGC≌△BCD（ASA），
∴CD=CG，
∴△CDG為等腰直角三角形，
∴DG=CG=4；

（2）證明：延長(zhǎng)EC到F使CF=CE，如圖，
∵△AGC≌△BCD，
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG為等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∴∠GAC=22.5°，
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF為等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，
∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，
∴∠F=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而B(niǎo)F=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．
分析：（1）由AD⊥BD得到∠ADB=90°，而∠ACB=90°，∠AEC=∠BED，根據(jù)三角形內(nèi)角和得∠CAD=∠DBE，再根據(jù)等角的余角相等得到∠ACG=∠BCD，然后利用“ASA”可判斷△AGC≌△BCD，則CD=CG，于是得到△CDG為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DG=CG=4；
（2）延長(zhǎng)EC到F使CF=CE，由△AGC≌△BCD得到AG=BD，由CG=BD可代換得到AG=CG，則∠GAC=∠GCA，而∠CGD=45°，所以∠GAC=22.5°，再利用AC⊥BC，CF=CE，得到△AEF為等腰三角形，于是∠FAC=∠EAC=22.5°，利用∠CAB=45°，∠ABC=45°可計(jì)算出∠FAB=67.5°，∠F=67.5°，得到∠F=∠FAB，所以AB=BF，而B(niǎo)F=BC+CF=AC+CE，即有AB=AC+CE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．