Question

18．如圖，四邊形ABCO是平行四邊形且點(diǎn)C（-4，0），將平行四邊形ABCO繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形ADEF，AD經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)F恰好落在x軸的正半軸上，若點(diǎn)A，D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，過A作AH⊥x軸，交EF于點(diǎn)H．
（1）證明：△AOF是等邊三角形，并求k的值；
（2）在x軸上找點(diǎn)G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x₁，a），Q（x₂，b）（x₂＞x₁＞0），M（m，y₁），N（n，y₂）是雙曲線y=$\frac{k}{x}$上的四點(diǎn)，m=$\sqrt{\frac{a+b}{2k}}$，n=$\sqrt{\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}}$，試判斷y₁，y₂的大小，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO，可證得△AOF為等邊三角形，由題意可知A、D關(guān)于原點(diǎn)對稱，則可求得OA的長，設(shè)AH交x軸于點(diǎn)K，則可中求得OK和AK的長，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；
（2）設(shè)G（x，0），由A、C的坐標(biāo)可分別表示出AG、CG和AC的長，分AG=CG、AG=AC和CG=AC三種情況分別得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，則可求得G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）把P、Q的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可用x₁、x₂分別表示出a、b，則可比較m、n的大小關(guān)系，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可求得y₁，y₂的大小．

解答 解：
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AO=AF=DE=BC，∠BAO=∠OAF，
∵AB∥BC，
∴∠BAO=∠AOF，
∴∠AOF=∠OAF，
∴AF=OF，
∴AF=OF=OA，
∴△AOF為等邊三角形，
∵點(diǎn)A，D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴A、D關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴AO=OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$OC=2，
如圖1，設(shè)AH交x軸于點(diǎn)K，

在Rt△AOK中，可得∠OAK=30°，
∴OK=$\frac{1}{2}$OA=1，AK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$），
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)G（x，0），且A（1，$\sqrt{3}$），C（-4，0），
∴AG=$\sqrt{（x-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$，CG=|x+4|，AC=$\sqrt{（1+4）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵△ACG是等腰三角形，
∴有AG=CG、AG=AC和CG=AC三種情況，
①當(dāng)AG=CG時，則$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$=|x+4|，解得x=-$\frac{6}{5}$，此時G點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{6}{5}$，0）；
②當(dāng)AG=AC時，則$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$=2$\sqrt{7}$，解得x=-4（與C點(diǎn)重合，舍去）或x=6，此時G點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；
③當(dāng)CG=AC時，則|x+4|=2$\sqrt{7}$，解得x=-4+2$\sqrt{7}$或x=-4-2$\sqrt{7}$，此時G點(diǎn)坐標(biāo)為（-4+2$\sqrt{7}$，0）或（-4-2$\sqrt{7}$，0）；
綜上可知G點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{6}{5}$，0）或（6，0）或（-4+2$\sqrt{7}$，0）或（-4-2$\sqrt{7}$，0）；
（3）y₁＜y₂．理由如下：
由（1）可知反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
∵P（x₁，a），Q（x₂，b）（x₂＞x₁＞0）在反比例函數(shù)圖象上，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{1}}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{2}}$，
∴m=$\sqrt{\frac{a+b}{2k}}$=$\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{{x}_{1}}+\frac{\sqrt{3}}{{x}_{2}}}{2\sqrt{3}}}$=$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}}$，
∴m²-n²=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$＞0，即m²-n²＞0，
∴m²＞n²，
又由題意可知m＞0，n＞0，
∴m＞n，
∵M(jìn)（m，y₁），N（n，y₂）在反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上，且在第一象限，
∴y₁＜y₂．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得OA=AF=OF是解題的關(guān)鍵，在（2）中用G點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出GC、AG和AC的長是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論，在（3）中比較出m、n的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．