Question

8．【問題情境】
如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．求證：AM=AD+MC．

【探究展示】
（2）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，試判斷AM=AD+MC是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD兩邊AB=6，BC=9，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）先構(gòu)造出△ADE≌△NCE，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)出MC=x，利用（2）的結(jié)論得出AM=9+x，再利用勾股定理建立方程求出CM即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長AE，BC相交于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD=CN，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）結(jié)論AM=AD+CM仍然成立，
理由：如圖2，
延長AE，BC相交于N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CNE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD=CN，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（3）設(shè)MC=x，則BM=BC-CN=9-x，
由（2）知，AM=AD+MC=9+x，
在Rt△ABC中，AM²-BM²=AB²，
（9+x）²-（9-x）²=36，
∴x=1，
∴AM=AD+MC=10．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ADE≌△NCE和利用勾股定理建立方程，是一道基礎(chǔ)題目．